题目内容

在环保知识有奖问答比赛中，甲、乙、丙同时回答一道有关水体净化知识的问题，甲答对的概率是 $数学公式$ ，甲、丙两人都打错的概率是 $数学公式$ ，乙、丙两人都答对的概率是 $数学公式$ ．
求：（1）乙、丙两人各自答对这道题目的概率．
（2）（理做）答对这道题目的人数的随机变量ξ的分布列和期望．
（文做）甲、乙、丙三人中至少有两人答对这道题目的概率．

解：（1）设乙、丙各自答对的概率分别是P₁、P₂，
根据题意得：
$\text{[math]}$ ，解得：P₁= $\text{[math]}$ ．P₂= $\text{[math]}$ ；
（2）（理科）ξ的可能取值是0，1，2，3，
P（ξ=0）= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
P（ξ=1）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；（9分）
P（ξ=2）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
P（ξ=3）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
所以ξ的分布列为（10分）

ξ	0	1	2	3
P	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

ξ的数学期望Eξ=0× $\text{[math]}$ +1× $\text{[math]}$ +2× $\text{[math]}$ +3× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．（12分）
（文科）由题意知甲、乙、丙三人中至少有两人答对这道题目包括四种情况，
这四种情况是互斥的，
∴P= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
分析：（1）设出乙和丙答对的概率，根据甲答对的概率是 $\text{[math]}$ ，甲、丙两人都打错的概率是 $\text{[math]}$ ，乙、丙两人都答对的概率是 $\text{[math]}$ ，列出关于两个概率的关系式，就方程组即可．
（2）（理）由题意知变量的可能取值是0，1，2，3，4，结合变量对应的事件写出变量的概率，写出分布列和期望值．
（文）由题意知甲、乙、丙三人中至少有两人答对这道题目包括四种情况，这四种情况是互斥的，根据相互独立事件同时发生的概率和互斥事件的概率公式写出结果．
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望和相互独立事件同时发生的概率，本题解题的关键是注意数字的运算不要出错，因为题目中出现的数字较多．