Question

5．椭圆$\frac{x^2}{3a}$+$\frac{y^2}{{3a-{a^2}-1}}$=1的离心率的最小值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 求出离心率的表达式，然后求解最小值即可．

解答 解：椭圆$\frac{x^2}{3a}$+$\frac{y^2}{{3a-{a^2}-1}}$=1，可知a＞0，3a-a²-1＞0，
椭圆的离心率：e=$\sqrt{\frac{3a-3a+{a}^{2}+1}{3a}}$=$\sqrt{\frac{a}{3}+\frac{1}{3a}}$≥$\sqrt{2\sqrt{\frac{a}{3}•\frac{1}{3a}}}$=$\sqrt{\frac{2}{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
当且仅当a=1时取等号．
故选：A．

点评 本题考查椭圆的简单性质的判断与应用，考查计算能力．