Question

7．在△ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，a=$\sqrt{6}$，b=4，2cos²AsinB=（2-cosB）sin2A．
（1）求c的值；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）展开等式右边的二倍角正弦，约分后移项，利用两角和的正弦化简，再由已知结合正弦定理得答案；
（2）利用余弦定理求出cosC，再由平方关系求得sinC，代入面积公式求得△ABC的面积．

解答 解：（1）由2cos²AsinB=（2-cosB）sin2A，得
2cos²AsinB=2（2-cosB）sinAcosA，即sinAcosB+cosAsinB=2sinA，
∴sin（A+B）=2sinA，
∴sinC=2sinA，
又a=$\sqrt{6}$，
∴c=a•$\frac{sinC}{sinA}$=$\sqrt{6}×2=2\sqrt{6}$；
（2）∵a=$\sqrt{6}$，b=4，c=$2\sqrt{6}$，
∴$cosC=\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}=\frac{（\sqrt{6}）^{2}+{4}^{2}-（2\sqrt{6}）^{2}}{2×\sqrt{6}×4}$=$-\frac{\sqrt{6}}{24}$，
∴sinC=$\sqrt{1-（-\frac{\sqrt{6}}{24}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{570}}{24}$．
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}ab•sinC=\frac{1}{2}×\sqrt{6}×4×\frac{\sqrt{570}}{24}$=$\frac{\sqrt{95}}{2}$．

点评 本题考查同角三角函数的恒等变换应用，考查三角形的解法，训练了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，是中档题．