Question

在区间[-4，-

1

4

]上，函数f（x）=-x²+px+q与g（x）=x+

1

x

同时取得相同的最大值，那么函数f（x）在区间[-4，-

1

4

]上的最小值为

 

．

Answer 1

分析：由题意得根据导数判断出g（x）在[-4，-1]上单调递增，在，[-1，-

1

4

]上单调递减，所以g（x）在x=-1是取得最大值为-2．所以f（x）=-x²+px+q在x=-1时取得最大值为-2．解得p=-2，q=-3．
进而得到函数f（x）的解析式求出函数的最小值．

解答：解：由题意得g′（x）=1-

1

x2

，[-4，-

1

4

]，
令g′（x）＞0解得-4≤x＜-1，令g′（x）＜0解得-1＜x≤-

1

4

，
所以g（x）在[-4，-1]上单调递增，在，[-1，-

1

4

]上单调递减，
所以g（x）在x=-1是取得最大值为-2．
所以f（x）=-x²+px+q在x=-1时取得最大值为-2．
解得p=-2，q=-3．
可得f（x）=-x²-2x-3，
所以当x=-4时函数f（x）有最小值为-11．
故答案为-11．

点评：解决此类问题的关键是熟练的利用导数判断函数的单调性以及一元二次函数的性质，多以选择题或填空题的形式出现在考题中．