Question

如果直线l：x+y-b=0与曲线C：y=

1-x2

有公共点，那么b的取值范围是

[-1，

2

]

．

Answer 1

分析：根据同角三角函数关系，换元得到点M（cosα，sinα）是曲线C上的点，其中0≤α≤π．因此问题转化为方程cosα+sinα-b=0，在区间[0，α]上有解，利用变量分离并结合正弦函数的图象与性质，即可算出实数b的取值范围．

解答：解：对于曲线C：y=

1-x2

，设x=cosα，则y=

1-cos2α

=sinα（0≤α≤π）
因此点M（cosα，sinα）是曲线C上的点，其中0≤α≤π
∵线l：x+y-b=0与曲线C有公共点
∴方程cosα+sinα-b=0，在区间[0，α]上有解
即b=cosα+sinα=

2

sin（α+

π

4

）
∵α+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，可得sin（α+

π

4

）∈[-

2

2

，1]
∴b=

2

sin（α+

π

4

）∈[-1，

2

]
即直线l：x+y-b=0与曲线C：y=

1-x2

有公共点时，b的取值范围是[-1，

2

]
故答案为：[-1，

2

]

点评：本题给出直线l与曲线C有公共点，求参数b的范围．着重考查了同角三角函数的关系、三角函数的图象与性质与函数的值域求法等知识，属于中档题．