Question

3．已知函数f（x）=x²+$\frac{1}{x}$．
（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（Ⅱ）判断f（x）在[2，+∞）上的单调性，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求f（-1）和f（1），根据奇函数、偶函数的定义便可说明f（x）为非奇非偶函数；
（Ⅱ）根据函数单调性定义，设任意的x₁＞x₂≥2，然后作差，通分，提取公因式，从而可判断f（x₁），f（x₂）的大小关系，进而即可得出f（x）在[2，+∞）上的单调性．

解答 解：（Ⅰ）f（-1）=0，f（1）=2；
∴f（-1）≠-f（1），且f（-1）≠f（1）；
∴f（x）为非奇非偶函数；
（Ⅱ）设x₁＞x₂≥2，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={{x}_{1}}^{2}+\frac{1}{{x}_{1}}-{{x}_{2}}^{2}-\frac{1}{{x}_{2}}$
=$（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）+\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$
=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}）$；
∵x₁＞x₂≥2；
∴x₁-x₂＞0，x₁x₂＞4，$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}＜1$；
∴${x}_{1}+{x}_{2}-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在[2，+∞）上为增函数．

点评 考查奇函数、偶函数的定义，判断一个函数为非奇非偶函数的方法，根据函数单调性定义判断和证明一个函数单调性的方法和过程，以及作差比较法的运用．