Question

已知直线l与曲线f（x）=sinx+cos（π-x）-

x

2

（x∈[0，π]）相切，则直线l的斜率的最小值为

 

．

Answer 1

分析：先把f（x）利用诱导公式化简后，求出f（x）的导函数，然后把导函数利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简为一个角的正弦函数，由x的范围，得到x+

π

4

的范围，进而根据正弦函数的图象得到sin（x+

π

4

）的最小值即可得到导函数的最小值即为切线l的斜率的最小值．

解答：解：由f(x)=sinx+cos(π-x)-

x

2

=sinx-cosx-

x

2

，得到：
f′（x）=cosx+sinx-

1

2

=

2

（

2

2

cosx+

2

2

sinx）-

1

2

=

2

sin（

π

4

+x）-

1

2

，
由x∈[0，π]，得到x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，
则sin（

π

4

+x）∈[-

2

2

，1]，
当x+

π

4

=

5π

4

即x=π时，f′（x）的最小值为-

3

2

所以直线l的斜率的最小值为-

3

2

．
故答案为：-

3

2

点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，灵活运用两角和的正弦函数公式化简求值，掌握正弦函数值域的求法，是一道中档题．