Question

12．设集合A={x|x²-2x-8＜0，x∈Z}，
（1）从集合A中任取两个元素a，b且a•b≠0，写出全部可能的基本结果；  
（2）求方程$\frac{x^2}{a}$+$\frac{y^2}{b}$=1表示焦点在x轴上的椭圆的概率；   
（3）若A={x|x²-2x-8＜0}，求方程$\frac{x^2}{a}$+$\frac{y^2}{b}$=1表示焦点在x轴上的椭圆的概率．

Answer 1

分析 （1）先求出集合A，由此利用列举法能求出（a，b）的所有可能取法．
（2）$\frac{{x}^{2}}{a}+\frac{{y}^{2}}{b}$=1表示焦点在x轴上的椭圆，有a＞b＞0，由此能求出方程$\frac{x^2}{a}$+$\frac{y^2}{b}$=1表示焦点在x轴上的椭圆的概率．
（3）由A={x|x²-2x-8＜0}={x|-2＜x＜4}，能求出方程$\frac{x^2}{a}$+$\frac{y^2}{b}$=1表示焦点在x轴上的椭圆的概率．

解答 解：（1）集合A={x|x²-2x-8＜0，x∈Z}={x|-2＜x＜4，x∈Z}={-1，0，1，2，3 }，（ 2分）
由条件知，（a，b）的所有可能取法有：
（-1，1），（-1，2），（-1，3），（1，2），（1，3），（2，3），
（1，-1），（2，-1），（3，-1），（2，1），（3，1），（3，2），共12种，（ 4分）
（2）$\frac{{x}^{2}}{a}+\frac{{y}^{2}}{b}$=1表示焦点在x轴上的椭圆，有a＞b＞0，
∴有（2，1），（3，1），（3，2）共3种，（7分）
∴方程$\frac{x^2}{a}$+$\frac{y^2}{b}$=1表示焦点在x轴上的椭圆的概率P₁=$\frac{1}{4}$．（ 8分）
（3）A={x|x²-2x-8＜0}}={x|-2＜x＜4}，
方程$\frac{x^2}{a}$+$\frac{y^2}{b}$=1表示焦点在x轴上的椭圆的概率$P=\frac{{\frac{1}{2}×4×4}}{6×6}=\frac{2}{9}$．（ 13分）

点评 本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意一元二次不等式、椭圆的性质的合理运用．