题目内容
4．已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：（1）（$\frac{b}{a}$+$\frac{c}{a}$）（$\frac{c}{b}$+$\frac{a}{b}$）（$\frac{a}{c}$+$\frac{b}{c}$）≥8；
（2）$\frac{b+c}{a}$+$\frac{c+a}{b}$+$\frac{a+b}{c}$≥6．
分析 利用基本不等式，即可证明不等式．
解答 证明：（1）∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴（$\frac{b}{a}$+$\frac{c}{a}$）（$\frac{c}{b}$+$\frac{a}{b}$）（$\frac{a}{c}$+$\frac{b}{c}$）≥2$\sqrt{\frac{bc}{{a}^{2}}}$•2$\sqrt{\frac{ca}{{b}^{2}}}$•2$\sqrt{\frac{ab}{{c}^{2}}}$=8，
当且仅当a=b=c时取等号；
（2）（a+b+c）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$）≥$3\root{3}{abc}$•3$\root{3}{\frac{1}{abc}}$=9，当且仅当a=b=c时取等号，
∴1+$\frac{b+c}{a}$+1+$\frac{c+a}{b}$+1+$\frac{a+b}{c}$≥9，
∴$\frac{b+c}{a}$+$\frac{c+a}{b}$+$\frac{a+b}{c}$≥6．
点评 本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，正确运用基本不等式是关键．
练习册系列答案
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15．设函数f（x）=$\frac{1-x}{1+x}$，记f1（x）=f（f（x）），f2（x）=f（f1（x）），…，fn+1（x）=f（fn（x）），n∈N*，那么下列说法正确的是（ ）
| A． | f（x）的图象关于点（-1，1）对称，f2016（0）=0 | |
| B． | f（x）的图象关于点（-1，-1）对称，f2016（0）=0 | |
| C． | f（x）的图象关于点（-1，1）对称，f2016（0）=1 | |
| D． | f（x）的图象关于点（-1，-1）对称，f2016（0）=1 |
19．用数学归纳法证明$\frac{1}{1•2}+\frac{1}{2•3}+\frac{1}{3•4}+…+\frac{1}{{n（{n+1}）}}=\frac{n}{n+1}$（n∈N*）时，由n=k到n=k+1，等式左端应增加的式子为（ ）
| A． | $\frac{1}{{k（{k+1}）}}$ | B． | $\frac{1}{{k（{k+1}）}}+\frac{1}{{（{k+1}）（{k+2}）}}$ | C． | $\frac{1}{{k（{k+2}）}}$ | D． | $\frac{1}{{（{k+1}）（{k+2}）}}$ |
16．若tan（π+α）=2，则sin2α=（ ）
| A． | $-\frac{2}{5}$ | B． | $-\frac{4}{5}$ | C． | $\frac{2}{5}$ | D． | $\frac{4}{5}$ |