Question

13．解下列关于x的不等式：
（1）ax²+（a-1）x-1＞0；
（2）$\frac{{x}^{2}-x-6}{{x}^{2}-x-12}$＞0．

Answer 1

分析 （1）原不等式为（x+1）（ax-1）＞0，由a=0、a＞0、a=-1、-1＜a＜0、a＜-1五种情况进行分类讨论，能求出原不等式的解集．
（2）利用穿根引线法能求出原不等式的解集．

解答 解：（1）∵ax²+（a-1）x-1＞0，∴（x+1）（ax-1）＞0，
①当a=0时，不等式化为-x-1＞0，解得x＜-1，∴原不等式的解集为{x|x＜-1}；
②当a＞0时，解方程ax²+（a-1）x-1=0，得x₁=-1，x₂=$\frac{1}{a}$，
∴原不等式的解集为{x|x＜-1或x＞$\frac{1}{a}$}；
③当a=-1时，不等式化为（x+1）²＜0
∴原不等式无解；
④当-1＜a＜0时，解方程ax²+（a-1）x-1=0，得x₁=-1，x₂=$\frac{1}{a}$，
∴原不等式的解集为{x|$\frac{1}{a}$＜x＜-1}；
⑤当a＜-1时，解方程ax²+（a-1）x-1=0，得x₁=-1，x₂=$\frac{1}{a}$，
∴原不等式的解集为{x|-1＜x＜$\frac{1}{a}$}．
（2）∵$\frac{{x}^{2}-x-6}{{x}^{2}-x-12}$＞0，∴$\frac{（x+2）（x-3）}{（x+3）（x-4）}$＞0，
如图，利用穿根引线法得原不等式的解集为：{x|x＜-3或2＜x＜3或x＞4}．

点评 本题考查不等式的解集的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想和穿根引线法的合理运用．