Question

2．如图所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D为AC的中点，点D₁是A₁C₁中点
（1）求证：BC₁∥平面AB₁D₁
（2）求证：平面AB₁D₁∥平面C₁BD．

Answer 1

分析 （1）连结A₁B，交AB₁于O，连结OD₁，则OD₁∥BC₁，由此能证明BC₁∥平面AB₁D₁．
（2）推导出BD∥平面AB₁D₁，BC₁∥平面AB₁D₁，BD∩BC₁=B，由此能证明平面AB₁D₁∥平面C₁BD．

解答 证明：（1）连结A₁B，交AB₁于O，连结OD₁，
∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D为AC的中点，点D₁是A₁C₁中点，
∴OD₁∥BC₁，
∵OD₁?平面AB₁D₁，BC₁?平面AB₁D₁，
∴BC₁∥平面AB₁D₁．
（2）∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D为AC的中点，点D₁是A₁C₁中点，
∴BD∥B₁D₁，
∵BD?平面AB₁D₁，B₁D₁?平面AB₁D₁，
∴BD∥平面AB₁D₁，
又BC₁∥平面AB₁D₁，BD∩BC₁=B，
BD、BC₁?平面C₁BD，
∴平面AB₁D₁∥平面C₁BD．

点评 本题考查线面平行、面面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．