Question

20．已知函数f（α）=$\frac{{sin（{π-α}）cosα}}{{sin（{\frac{π}{2}-α}）}}+\frac{{sin（{π+α}）cos（{2π-α}）}}{{cosαtan（{-α}）}}$
（1）化简f（α）；
（2）若f（α）=$\frac{1}{5}，-\frac{π}{2}$＜α＜0，求sinα•cosα，sinα-cosα的值．

Answer 1

分析 （1）利用诱导公式化简三角函数式f（α）的解析式，可得结果．
（2）利用同角三角函数的基本关系求得 sinα•cosα 的值，结合 sinα与cosα 的符号，可得（sinα-cosα）²的值，可得sinα-cosα的值．

解答 解：（1）f（α）=$\frac{{sin（{π-α}）cosα}}{{sin（{\frac{π}{2}-α}）}}+\frac{{sin（{π+α}）cos（{2π-α}）}}{{cosαtan（{-α}）}}$=$\frac{sinα•cosα}{cosα}$+$\frac{-sinα•cosα}{-sinα}$=sinα+cosα=$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）．
（2）由$f（α）=sinα+cosα=\frac{1}{5}$，平方可得${sin^2}α+2sinαcosα+{cos^2}α=\frac{1}{25}$，
即$2sinα•cosα=-\frac{24}{25}$，∴sinα•cosα=-$\frac{12}{25}$，∵（sinα-cosα）²=1-2sinαcosα=$\frac{49}{25}$，
又$-\frac{π}{2}＜α＜0$，所以sinα＜0，cosα＞0，所以sinα-cosα＜0，∴sinα-cosα=-$\frac{7}{5}$．

点评 本题主要考查应用诱导公式、同角三角函数的基本关系，属于基础题．