Question

3．已知函数f（x）=ax³+bx（x∈R）．
（1）若函数f（x）的图象在点x=3处的切线与直线x+24y+1=0垂直，函数f（x）在x=1处取得极值，求函数f（x）的解析式．并确定函数的单调递减区间；
（2）若a=1，且函数f（x）在[-1，1]上减函数，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f′（3），f′（1），得到关于a，b的方程组，解出即可；
（2）求出函数的单调区间，问题转化为b≤-3x²在[-1，1]上恒成立，求出b的范围即可．

解答 解：（1）已知函数f（x）=ax³+bx（x∈R），
∴f'（x）=3ax²+b．
又函数f（x）图象在点x=3处的切线与直线c垂直，
且函数f（x）在x=1处取得极值，
∴f'（3）=27a+b=21，
且f'（1）=3a+b=0，计算得出a=1，b=-3．
∴f（x）=x³-3x令f'（x）=3x²-3≤0得：-1≤x≤1，
所以函数的单调递减区间为[-1，1]．
（2）当a=1时，f（x）=x³+bx（x∈R），
又函数f（x）在[-1，1]上是减函数，
∴f'（x）=3x²+b≤0在[-1，1]上恒成立，
即b≤-3x²在[-1，1]上恒成立，∴b≤-3，
当b=-3时，f′（x）不恒为0，
∴b≤-3．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．