Question

14．给出下列命题：
①若等比数列{a_n}的前n项和为S_n，则S₁₀₀，S₂₀₀-S₁₀₀，S₃₀₀-S₂₀₀成等比数列；
②已知等差数列{a_n}，{b_n}的前n项和分别为A_n，B_n，且满足$\frac{{A}_{n}}{{B}_{n}}$=$\frac{2n}{n+3}$，则$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{12}}{{b}_{2}+{b}_{4}+{b}_{9}}$=$\frac{3}{2}$；
③已知点P（x，y）到A（0，4）和B（-2，0）的距离相等，则2^x+4^y的最小值为4$\sqrt{2}$
④若关于x的不等式（a²-1）x²-（a-1）x-1＜0的解集为R，则a的取值范围为（-$\frac{3}{5}$，-1）．
⑤若b²=ac且cos（A-C）=$\frac{3}{2}$-cosB，则B=$\frac{π}{3}$．
其中正确的是②③⑤你认为正确的命题序号都填上）．

Answer 1

分析 ①利用特殊值法举一个反例即可得到结论．
②根据等差数列的前n项和公式进行转化求解
③根据基本不等式的性质和应用进行判断，
④根据特殊值法举一个反例进行判断．
⑤利用正弦定理以及两角和差的余弦公式进行化简求解即可、

解答 解：①若等比数列{a_n}的前n项和为S_n，则S₁₀₀，S₂₀₀-S₁₀₀，S₃₀₀-S₂₀₀成等比数列不一定正确，比如
a_n=（-1）²，满足数列是等比数列，但S₁₀₀=0，S₂₀₀-S₁₀₀=0，S₃₀₀-S₂₀₀=0，不能构成等比数列，故①错误，
②已知等差数列{a_n}，{b_n}的前n项和分别为A_n，B_n，且满足$\frac{{A}_{n}}{{B}_{n}}$=$\frac{2n}{n+3}$，
设等差数列{a_n}，{b_n}公差分别为d，b，
则$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{12}}{{b}_{2}+{b}_{4}+{b}_{9}}$=$\frac{3{a}_{1}+12d}{3{b}_{1}+12b}$=$\frac{{a}_{1}+4d}{{b}_{1}+4b}$=$\frac{{a}_{5}}{{b}_{5}}$=$\frac{2{a}_{5}}{2{b}_{5}}$=$\frac{{a}_{1}+{a}_{9}}{{b}_{1}+{b}_{9}}$=$\frac{\frac{{a}_{1}+{a}_{9}}{2}×9}{\frac{{b}_{1}+{b}_{9}}{2}×9}$=$\frac{{A}_{9}}{{B}_{9}}$=$\frac{2×9}{9+3}$=$\frac{18}{12}$=$\frac{3}{2}$；故②正确，
③∵P（x，y）到A（0，4）和B（-2，0）的距离相等，
∴$\sqrt{{x}^{2}+（y-4）^{2}}$=$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$，整理得x+2y=3，
2^x+4^y≥2$\sqrt{{2}^{x}•{4}^{y}}$=2$\sqrt{{2}^{x+2y}}$=2$\sqrt{{2}^{3}}$=4$\sqrt{2}$，即2^x+4^y的最小值为4$\sqrt{2}$正确，故③正确，
④若关于x的不等式（a²-1）x²-（a-1）x-1＜0的解集为R，
则当a=1时，不等式等价为-1＜0．也成立，故④错误，
⑤b²=ac，则sin²B=sinAsinC．由cos（A-C）=$\frac{3}{2}$-cosB=$\frac{3}{2}$+cos（A+C），化为：sinAsinC=$\frac{3}{4}$．∴sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又B∈（0，π），则B=$\frac{π}{3}$或B=$\frac{2π}{3}$，由b²=ac，可知：B不是最大角，因此是锐角，∴B=$\frac{π}{3}$，故⑤正确，
故答案为：②③⑤

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，有一定的难度．