Question

19．如图，已知等边△ABC的边长为2，⊙A的半径为1，PQ为⊙A的任一条直径，则$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{CQ}$-$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{CB}$的值为（　　）

• A． -1
• B． 1
• C． 2
• D． -2

Answer 1

分析 由题意可得$\overrightarrow{AQ}$=-$\overrightarrow{AP}$，|$\overrightarrow{AP}$|=1，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=2，再根据 $\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{CQ}$-$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{CB}$=（$\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB}$）•（$\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AC}$）-$\overrightarrow{AP}$•（-$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AB}$），计算求得结果．

解答 解：等边△ABC的边长为2，⊙A的半径为1，PQ为⊙A的任一条直径，如图所示：
∴$\overrightarrow{AQ}$=-$\overrightarrow{AP}$，|$\overrightarrow{AP}$|=1，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=2•2•cos60°=2，
∴$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{CQ}$-$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{CB}$=（$\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB}$）•（$\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AC}$）-$\overrightarrow{AP}$•（-$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AB}$）=$\overline{AP}•\overrightarrow{AQ}$-$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AQ}$+$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$
=$\overline{AP}•\overrightarrow{AQ}$-$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AQ}$+$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$=-${\overrightarrow{AP}}^{2}$+$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$=-${\overrightarrow{AP}}^{2}$+$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=-1+2=1，
故选：B．

点评 本题主要考查向量知识在几何中的应用问题．一般在求解此类问题时，常用三角形法则或平行四边形法则把问题转化，属于中档题．