Question

已知函数f（x）=|

a

x

-1|-4a（x+1）-1．
（Ⅰ）当a=-1时，求函数f（x）的零点；
（Ⅱ）记函数y=f（x）所有零点之和为g（a），当a＞0时，求g（a）的取值范围．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）当a=-1时，f（x）=|

1

x

+1|+4x+3=

1 x +4x+4， 1 x +1≥0 - 1 x +4x+2， 1 x +1＜0

；从而可得方程

1 x +1≥0 1 x +4x+4=0

或

1 x +1＜0 - 1 x +4x+2=0

；从而解得；
（Ⅱ）当a＞0时，f（x）=|

a

x

-1|-4a（x+1）-1=

a x -1-4ax-4a-1， a x -1≥0 1- a x -4ax-4a-1， a x -1＜0

；从而可得x₁=

-1-2a+ (1+2a)2+4a2

4a

，x₂=-

1

2

；化简可得x₁+x₂=

1

4

（-

1

a

+

( 1 a +2)2+4

）-1，令t=

1

a

+2，（t＞2）；从而可得x₁+x₂=

1

4

（-t+

t2+4

+2）-1，构造函数g（t）=-t+

t2+4

=

4

t2+4 +t

，从而可得g（t）∈（0，g（2））=（0，2

2

-2）；从而解得．

解答： 解：（Ⅰ）当a=-1时，
f（x）=|

1

x

+1|+4x+3=

1 x +4x+4， 1 x +1≥0 - 1 x +4x+2， 1 x +1＜0

；
从而得

1 x +1≥0 1 x +4x+4=0

或

1 x +1＜0 - 1 x +4x+2=0

；
解得，x=-

1+ 5

4

；
（Ⅱ）当a＞0时，
f（x）=|

a

x

-1|-4a（x+1）-1
=

a x -1-4ax-4a-1， a x -1≥0 1- a x -4ax-4a-1， a x -1＜0

；
故方程f（x）=0可得，

0≤x≤a a x -4ax-2-4a=0

或

x＜0或x＞a a x +4ax+4a=0

；
故x₁=

-1-2a+ (1+2a)2+4a2

4a

，x₂=-

1

2

；
所以x₁+x₂=

-1+ (1+2a)2+4a2

4a

-1；
故x₁+x₂=

1

4

（-

1

a

+

( 1 a +2)2+4

）-1，令t=

1

a

+2，（t＞2）；
所以x₁+x₂=

1

4

（-t+

t2+4

+2）-1，
设g（t）=-t+

t2+4

，（t＞2）；
g（t）=-t+

t2+4

=

4

t2+4 +t

，
所以g（t）在（2，+∞）上单调递减，
所以g（t）∈（0，g（2））=（0，2

2

-2）；
所以x₁+x₂∈（-

1

2

，

2

2

-1）．

点评：本题考查了函数的零点的应用及绝对值函数的化简与应用，属于中档题．