Question

20．（请用分析法证明）若a＞0，求证：$\sqrt{a+\frac{1}{a}}$-$\sqrt{2}$≥$\sqrt{a}$+$\frac{1}{{\sqrt{a}}}$-2．

Answer 1

分析 运用分析法证明，通过两边平方和不等式的性质，化简整理，再由均值不等式即可得证．

解答 证明：要证$\sqrt{a+\frac{1}{a}}$-$\sqrt{2}$≥$\sqrt{a}$+$\frac{1}{{\sqrt{a}}}$-2，
只需证$\sqrt{a+\frac{1}{a}}$+2≥$\sqrt{a}$+$\frac{1}{\sqrt{a}}$+$\sqrt{2}$，
两边平方，即为a+$\frac{1}{a}$+4+4$\sqrt{a+\frac{1}{a}}$≥a+$\frac{1}{a}$+2+2$\sqrt{2}$（$\sqrt{a}$+$\frac{1}{{\sqrt{a}}}$）+2，
即证$\sqrt{a+\frac{1}{a}}$≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\sqrt{a}$+$\frac{1}{{\sqrt{a}}}$），
两边平方可得a+$\frac{1}{a}$≥$\frac{1}{2}$（a+$\frac{1}{a}$+2），
即证a+$\frac{1}{a}$≥2，由a＞0，a+$\frac{1}{a}$≥2$\sqrt{a•\frac{1}{a}}$=2，上式显然成立．
故原不等式成立．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用分析法证明，通过平方法和不等式的性质，及均值不等式，考查推理能力，属于中档题．