Question

定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界.
已知函数；.
（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围；
（3）若，函数在上的上界是，求的取值范围.

Answer 1

（1）在的值域为，故不存在常数，使成立
所以函数在上不是有界函数。
（2）实数的取值范围为。
（3）当时，的取值范围是；
当时，的取值范围是

[解]：（1）当时， 
因为在上递减，所以，即在的值域为
故不存在常数，使成立
所以函数在上不是有界函数。   ……………4分（没有判断过程，扣2分）
（2）由题意知，在上恒成立。………5分
，         
∴  在上恒成立………6分
∴   ………7分
设，，，由得 t≥1，
设，

所以在上递减，在上递增，………9分（单调性不证，不扣分）
在上的最大值为， 在上的最小值为 
所以实数的取值范围为。…………………………………11分
（3），∵   m>0 ，     ∴ 在上递减，…12分
∴      即………13分
①当，即时，， ………14分
此时 ，………16分②当，即时，，
此时 ，   ---------17分
综上所述，当时，的取值范围是；
当时，的取值范围是………18分