Question

13．各项为正数的数列{a_n}前n项和为S_n，且S_n+1=a₂S_n+a₁，n∈N^*，当且仅当n=1和n=2时S_n＜3成立，那么a₂的取值范围是（　　）

• A． [1，2）
• B． （1，2]
• C． [1，2]
• D． （1，2）

Answer 1

分析 各项为正数的数列{a_n}满足：S_n+1=a₂S_n+a₁，n∈N^*，当n=1时，可得：a₁=1；当且仅当n=1和n=2时S_n＜3成立，可得a₁+a₂＜3，S₃=a₂（a₂+1）+1≥3，解出即可得出．

解答 解：S_n+1=a₂S_n+a₁，n∈N^*，当n=1时，可得：a₁+a₂=a₁a₂+a₁，解得a₁=1，
当且仅当n=1和n=2时S_n＜3成立，∴a₁=1＞0，a₁+a₂＜3，S₃=a₂（a₂+1）+1≥3，
∴解得：1≤a₂＜2．
∴a₂的取值范围是[1，2），
故选：A．

点评 本题考查了递推关系、数列的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．