Question

5．已知函数f（x）=asinx-bcosx（其中a，b为正实数）的图象关于直线x=-$\frac{π}{6}$对称，且?x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，f（x₁）f（x₂）≤4恒成立，则下列结论正确的是（　　）

• A． $a=\sqrt{3}，b=1$
• B． 不等式f（x₁）f（x₂）≤4取到等号时|x₁-x₂|的最小值为2π
• C． 函数f（x）的图象一个对称中心为 $（{\frac{2}{3}π，0}）$
• D． 函数f（x）在区间$[{\frac{π}{6}，π}]$上单调递增

Answer 1

分析 利用函数的对称轴，判断A的正误；
利用函数的最值，判断B的正误；
通过函数的周期以及对称性判断C的正误；
利用对称轴以及周期判断D的正误；

解答 解：对于A，函数f（x）=asinx-bcosx（其中a，b为正实数）的图象关于直线x=-$\frac{π}{6}$对称，
可得$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=\frac{a}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}b$，显然A不正确．
对于B，?x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，f（x₁）f（x₂）≤4恒成立，说明函数最大值为2，不等式f（x₁）f（x₂）≤4取到等号时|x₁-x₂|的最小值为2π，满足题意．
对于C，函数f（x）=asinx-bcosx（其中a，b为正实数）的图象关于直线x=-$\frac{π}{6}$对称，周期为2π，函数f（x）的图象一个对称中心为$（\frac{π}{3}，0）$，不是 $（{\frac{2}{3}π，0}）$，所以C不正确；
对于D，函数f（x）=asinx-bcosx（其中a，b为正实数）的图象关于直线x=-$\frac{π}{6}$对称，x=-$\frac{π}{6}$函数取得最小值，x=$\frac{5π}{6}$，函数取得最大值，函数f（x）在区间$[{\frac{π}{6}，π}]$上单调递增是不正确的．
故选：B．

点评 本题考查命题的真假的判断与应用，三角函数的最值，考查分析问题解决问题的能力．