Question

14．已知函数f（x）=（2x²-3x）•e^x
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若方程（2x-3）•e^x=$\frac{a}{x}$有且仅有一个实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求函数f（x）的导数，利用导数小于0，求解单调递减区间；
（Ⅱ）分离变量，通过函数的图象的交点个数，判断零点个数，利用单调性求解函数的极值，推出结果即可．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题可得：f′（x）=（2x²+x-3）•e^x…（1分）
令f′（x）＜0，得　2x²+x-3＜0，解得：$-\frac{3}{2}＜x＜1$…（3分）
∴函数f（x）的单调递减区间是$（-\frac{3}{2}，1）$．…（4分）
（Ⅱ）∵方程$（2x-3）•{e^x}=\frac{a}{x}$有且仅有一个实根
∴方程（2x²-3x）•e^x=a有且仅有一个非零实根，即方程f（x）=a，（x≠0）有且仅有一个实根．
因此，函数y=f（x），（x≠0）的图象与直线y=a有且仅有一个交点．…（6分）
结合（Ⅰ）可知，函数f（x）的单调递减区间是$（-\frac{3}{2}，1）$，单调递增区间是$（-∞，-\frac{3}{2}），（1，+∞）$
∴函数f（x）的极大值是$f（-\frac{3}{2}）=9{e^{-\frac{3}{2}}}$，极小值是f（1）=-e．…（9分）
又∵$f（0）=f（\frac{3}{2}）=0$且x＜0时，f（x）＞0．∴当$a＞9{e^{-\frac{3}{2}}}$或a=0或a=-e时，
函数y=f（x），（x≠0）的图象与直线y=a有且仅有一个交点．…（11分）
∴若方程$（2x-3）•{e^x}=\frac{a}{x}$有且仅有一个实根，
实数a的取值范围是$\{-e，0\}∪（9{e^{-\frac{3}{2}}}，+∞）$．…（12分）

点评 本题考查函数的导数的综合应用，考查函数的单调性以及函数的极值，考查分析问题解决问题的能力．