Question

9．金老师为投资理财，考虑了两种投资计划，
计划A：从2015年初开始购买投资产品，每个月1号投资，第一次投次1500元钱，用于购买“余额宝”，“余额宝”的月收益率为0.5%（类似于银行存款，月底结算利息）；
计划B：从2015年初开始购买投资产品，每个月1号投资，第一次投次1000元钱，以后每一次比上一次多投资200元，用于购买同一只股票，到2016年底（2016年12月31日），这只股票收益50%的概率为$\frac{1}{4}$，亏损$\frac{1}{12}$的概率为$\frac{3}{4}$．若两计划的收益均不考虑手续费．
（1）求计划B到2016年底的收益的期望值；
（2）根据2016年年底的收益，从收益率的角度出发，试问你将选择何种投资？
（注：收益率=$\frac{收益}{投资总额}$，参考数据1.005²⁴≈1.13，$\frac{7}{80}$≈0.0875，$\frac{11}{176}$≈0.0625）

Answer 1

分析 （1）设计划B每个月的投资金额构成的数列为{a_n}，则{a_n}是以a₁=100为首项，200为公差的等差数列，从2015年初至2017年末共存了20个月，共投资金额79200，设X为投资股票79200元的获利金额，
则依题意可得X的取值为39600元，-6600元，分别求出相应的概率，由此能求出计划B到2016年底的收益的期望值．
（2）计划A每个月的投资金额构成的数列是一个常数列{b_n}，b_n=1500n，设计划A投资2年的本息总和为T_n，q=1.005，则T_n=1500（q²⁴+q²³+q²²+…+q）=39195，求出计划A的收益率，由此能求出结果．

解答 解：（1）设计划B每个月的投资金额构成的数列为{a_n}，
则依题意可知{a_n}是以a₁=100为首项，200为公差的等差数列，
∴从2015年初至2017年末共存了20个月，共投资金额：
S_n=24×1000+$\frac{24（24-1）×200}{2}$=79200，
设X为投资股票79200元的获利金额，
则依题意可得X的取值为39600元，-6600元，
P（X=39600）=$\frac{1}{4}$，P（X=-6600）=$\frac{3}{4}$，
∴X的分布列为：

X	39600	-6600
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{4}$

∴计划B到2016年底的收益的期望值EX=$39600×\frac{1}{4}+（-6600）×\frac{3}{4}$=4950．
（2）计划A每个月的投资金额构成的数列是一个常数列{b_n}，b_n=1500n，
设计划A投资2年的本息总和为T_n，q=1.005，
则T_n=1500（q²⁴+q²³+q²²+…+q）
=1500×$\frac{q（1-{q}^{24}）}{1-q}$
=1500×$\frac{1.005（1-1.13）}{1-1.005}$
=39195，
∵计划A共投资1500×24=36000，
∴计划A的收益率为$\frac{39195-36000}{36000}$=$\frac{7}{80}≈0.0875$，
由（1）知计划B的收益率为$\frac{4950}{79200}$=$\frac{11}{176}$≈0.0625＜0.0875．
∴从收益率的角度出发，我将选择计划A进行投资．

点评 本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．