Question

1．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+\frac{1}{2}x，x＜0\\{e^x}-1，x≥0\end{array}$，若函数y=f（x）-kx有3个零点，则实数k的取值范围是（　　）

• A． （-1，1）
• B． （1，+∞）
• C． [2，+∞）
• D． [1，2）

Answer 1

分析 由f（0）=ln1=0，可得：x=0是函数y=f（x）-kx的一个零点；当x＜0时，由f（x）=kx，得-x²+$\frac{1}{2}$x=kx，解得x=$\frac{1}{2}$-k，由x=$\frac{1}{2}$-k＜0，可得：k＞$\frac{1}{2}$；当x＞0时，函数f（x）=e^x-1，由f'（x）∈（1，+∞），进而可得k＞1；综合讨论结果，可得答案．

解答 解：∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+\frac{1}{2}x，x＜0\\{e^x}-1，x≥0\end{array}$，
∴f（0）=ln1=0，
∴x=0是函数y=f（x）-kx的一个零点，
当x＜0时，由f（x）=kx，
得-x²+$\frac{1}{2}$x=kx，
即-x+$\frac{1}{2}$=k，解得x=$\frac{1}{2}$-k，
由x=$\frac{1}{2}$-k＜0，解得k＞$\frac{1}{2}$，
当x＞0时，函数f（x）=e^x-1，
f'（x）=e^x∈（1，+∞），
∴要使函数y=f（x）-kx在x＞0时有一个零点，
则k＞1，
∴k＞1，
即实数k的取值范围是（1，+∞），
故选：B．

点评 本题考查的知识点是函数零点及零点的个数，二次函数的图象和性质，指数型函数的图象和性质，属于中档题．