Question

（本题满分16分，其中第1小题9分，第2小题7分）

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为1，高为（），动点在侧棱上移动.设与侧面所成的角为.

（1）当时，求点到平面的距离的取值范围；

（2）当时，求向量与夹角的大小.

.

Answer 1

（本题满分16分，理科：第1小题9分，第2小题7分；文科：第1小题3分，第2小题6分，第3小题7分）

（理科）解：（1）设BC的中点为D，连结AD、DM，则有

 

于是，可知即为AM与侧面BCC₁所成角.

因为，点到平面的距离为，不妨设，.

在Rt△ADM中，.

由,,故.

而当时，，

即

，

所以，点到平面的距离的取值范围是.

（2）解法一：当时，由（1）可知,

故可得,.

    设向量与的夹角为，因为

   

以.故面积的最大为.        .

所以，

故向量与夹角的大小为.

解法二：如图，以中点O为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在直线为轴（其中点为中点），建立空间直角坐标系.

由（1）可知，当时，.

所以有，，，

,，即，.

设向量与夹角为，则

故向量与夹角的大小为.

解法三：如图，过点作//，交于.

联结.因为是正三棱柱，故可得.

    当时，由（1）可知,

故可得.

在等腰三角形中，不难求得

，即异面直线与所成角为

而图中不难发现，与夹角的大小为异面直线与所成角的补角，即与夹角的大小为.

（文科）解:（1） 为偶函数，对恒成立，

即对恒成立，又，

于是得对恒成立，.

（2） 由（1）得

可知，当时，单调递增区间为，单调递减区间为 ；

当时，单调递增区间为和，

单调递减区间为和.

（3）解法一：由偶函数的性质得：函数在区间上也必定有零点，即方程在区间上有实数解，则，

设，可知函数在区间上单调递增，

，.

解法二：若函数在区间上存在零点，则必有

即.