Question

3．已知数列{a_n}满足a₁=2和3a_n+1=a_n，n=1，2，…，
（1）证明：数列{a_n}为等比数列，并写出它的通项公式；
（2）记b_n=a_n+n，n=1，2，…，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列的定义及其通项公式即可证明．
（2）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．

解答 （1）证明：∵a₁=2和3a_n+1=a_n，∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}$，
∴数列{a_n}为等比数列，首项为2，公比为$\frac{1}{3}$．
∴a_n=2×$（\frac{1}{3}）^{n-1}$．
（2）解：b_n=a_n+n=2×$（\frac{1}{3}）^{n-1}$+n，
∴数列{b_n}的前n项和S_n=$\frac{2×（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$+$\frac{n（n+1）}{2}$=3-$\frac{1}{{3}^{n-1}}$+$\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．