Question

已知中心在坐标轴原点O的椭圆C经过点A（1，），且点F（-1，0）为其左焦点．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）试判断以AF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由椭圆C经过点A（1，），且点F（-1，0）为其左焦点，知，由此能求出椭圆的离心率．
（2）以椭圆长轴为直径的圆的方程为x²+y²=4，以AF为直径的圆的方程为，由此能推导出以AF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆相内切．
解答：解：（1）依题意，设椭圆C的方程为，
∵椭圆C经过点A（1，），且点F（-1，0）为其左焦点，
∴椭圆的右焦点为F‘（1，0），
∴，|AF′|=，
∴，
∴a=2．c=1，
所以，离心率．（6分）
（2）由已知得，以椭圆长轴为直径的圆的方程为x²+y²=4，
圆心坐标为（0，0），半径为2，（8分）
以AF为直径的圆的方程为，
圆心坐标为（0，），半径为，（10分）
由于两圆心之间的距离为，
故以AF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆相内切．（13分）
点评：本题考查椭圆离心率的求法，考查两圆位置关系的判断．具体涉及到椭圆和圆的简单性质、点到直线的距离公式、两点间的距离公式、两圆的位置关系的判断等基本知识点，是难题．