Question

5．已知x为三角形中的最小角，则函数y=sin（x+$\frac{π}{3}$）+sin（x-$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$cosx+1的值域为[$\sqrt{3}$+1，3]．

Answer 1

分析 化简函数y为正弦型函数，根据x为三角形中的最小角得出0＜x≤$\frac{π}{3}$，从而求出函数y的值域．

解答 解：函数y=sin（x+$\frac{π}{3}$）+sin（x-$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$cosx+1
=sinxcos$\frac{π}{3}$+cosxsin$\frac{π}{3}$+sinxcos$\frac{π}{3}$-cosxsin$\frac{π}{3}$+$\sqrt{3}$cosx+1
=2sinxcos$\frac{π}{3}$+$\sqrt{3}$cosx+1
=sinx+$\sqrt{3}$cosx+1
=2sin（x+$\frac{π}{3}$）+1，
∵x为三角形中的最小角，
∴0＜x≤$\frac{π}{3}$，
∴$\frac{π}{3}$＜x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$，
∴sin（x+$\frac{π}{3}$）∈[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴2sin（x+$\frac{π}{3}$）+1∈[$\sqrt{3}$+1，3]；
即函数y的值域为[$\sqrt{3}$+1，3]．
故答案为：[$\sqrt{3}$+1，3]．

点评 本题考查了三角函数的化简与求值问题，是基础题目．