Question

4．如果函数f（x）=$\frac{1}{2}$（m-2）x²+（n-8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[$\frac{1}{2}，2}$]上单调递减，则mn的最大值为18．

Answer 1

分析 函数f（x）=$\frac{1}{2}$（m-2）x²+（n-8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[$\frac{1}{2}$，2]上单调递减，则f′（x）≤0，即（m-2）x+n-8≤0在[$\frac{1}{2}$，2]上恒成立．而y=（m-2）x+n-8是一次函数，在[$\frac{1}{2}$，2]上的图象是一条线段．故只须在两个端点处f′（$\frac{1}{2}$）≤0，f′（2）≤0即可．结合基本不等式求出mn的最大值．

解答 解：∵函数f（x）=$\frac{1}{2}$（m-2）x²+（n-8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[$\frac{1}{2}$，2]上单调递减，
∴f′（x）≤0，即（m-2）x+n-8≤0在[$\frac{1}{2}$，2]上恒成立．
而y=（m-2）x+n-8是一次函数，在[$\frac{1}{2}$，2]上的图象是一条线段．
故只须在两个端点处f′（$\frac{1}{2}$）≤0，f′（2）≤0即可．即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}（m-2）+n-8≤0①}\\{2（m-2）+n-8≤0②}\end{array}\right.$，
由②得m≤$\frac{1}{2}$（12-n），
∴mn≤$\frac{1}{2}$n（12-n）≤$\frac{1}{2}$$（\frac{n+12-n}{2}）^{2}$=18，
当且仅当m=3，n=6时取得最大值，经检验m=3，n=6满足①和②．
∴mn的最大值为18．
故答案为：18．

点评 本题综合考查了函数方程的运用，考查导数的运算，体现了数学转化思想方法，是中档题．