Question

20．若（$\sqrt{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$）ⁿ展开式中二项式系数之和是32，常数项为15，则实数a=-3．

Answer 1

分析 根据题意，由二项式系数的性质可得2ⁿ=32，解可得n=5，进而可得则（$\sqrt{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$）⁵展开式的通项，令x的指数为0，可得r的值为1，即（$\sqrt{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$）⁵展开式中的常数项为T₂，求出T₂，结合题意有-a•C₅¹=15，解可得答案．

解答 解：根据题意，（$\sqrt{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$）ⁿ展开式中二项式系数之和是32，有2ⁿ=32，则n=5，
则（$\sqrt{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$）⁵展开式的通项为T_r+1=C₅^r•（$\sqrt{x}$）^5-r•（-$\frac{a}{{x}^{2}}$）^r=（-1）^r•a^r•C₅^r•${x}^{\frac{5-5r}{2}}$，
令$\frac{5-5r}{2}$=0，可得r=1，
则（$\sqrt{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$）⁵展开式中的常数项为T₂=-a•C₅¹，
则有-a•C₅¹=15，即a=-3，
故答案为：-3．

点评 本题考查二项式定理的应用，解题的关键是由二项式系数的性质求出n，并得到该二项式的通项．