Question

设f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=lg（x²-ax+10），a∈R．
（1）若f（1）=1，求f（x）的解析式；
（2）若a=0，不等式f（k•2^x）+f（4^x+k+1）＞0恒成立，求实数k的取值范围；
（3）若f（x）的值域为R，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由f（1）=1，求得a=1．求得当x＜0时f（x）的解析式，再由f（0）=0，可得f（x）在R上的解析式．
（2）若a=0，则由f（x）为奇函数可得它在R上单调递增，不等式等价于k•2^x+4^x+k+1＞0．令t=2^x（t＞0），可得t²+kt+k+1＞0在（0，+∞）恒成立，分离参数k，利用基本不等式求得k的范围．
（3）根据f（x）的值域为R，结合对数函数的性质即可得到结论．

解答： 解：（1）∵f（1）=1，∴f（1）=lg（11-a）=1，∴11-a=10，即a=1．
此时，当x＜0时，-x＞0，f（x）=-f（-x）=-lg（x²+x+10），又f（0）=0，
故f(x)=

-lg(x2+x+10)，x＜0 0，x=0 lg(x2-x+10)，x＞0

．
（2）若a=0，则由f（x）为奇函数可得它在R上单调递增，
故f（k•2^x）+f（4^x+k+1）＞0，等价于k•2^x+4^x+k+1＞0．
令t=2^x（t＞0），于是，t²+kt+k+1＞0在（0，+∞）恒成立，
即k＞-

t2+1

t+1

=-

(t+1)2-2(t+1)+2

t+1

=-[(t+1)+

2

t+1

]-2
∵-[（t+1）+

2

t+1

]-2的最大值为2-2

2

，
∴k＞2-2

2

．
（3）要使f（x）有意义，首先需满足x²-ax+10＞0在（0，+∞）上恒成立，
即a＜x+

10

x

．
由基本不等式求得x+

10

x

≥2

x• 10 x

=2

10

，当且仅当x=

10

x

时，即x=

10

取等号，
∴a＜2

10

．
其次，要使f（x）的值域为R，需要x²-ax+10=1能取遍所有的正数，
故x²-ax+10=1在（0，+∞）上有解，
由a=x+

9

x

≥6，当且仅当x=3时，等号成立．
综上可得6≤a＜2

10

．

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质综合应用，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．