Question

14．已知p：对?n∈[-1，1]，不等式a²-5a-3≥$\sqrt{{n}^{2}+8}$恒成立；命题q：x²-2x+1-m²≤0（m＞0）．
（1）若p是真命题，求a的取值范围；
（2）若p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出$\sqrt{{n}^{2}+8}$的最大值，问题转化为解不等式a²-5a-3≥3，求出a的范围即可；
（2）分别求出p和q，根据p是￢q的必要不充分条件结合集合的包含关系，求出m的范围即可．

解答 解：（1）对?n∈[-1，1]，不等式a²-5a-3≥$\sqrt{{n}^{2}+8}$恒成立，
即对?n∈[-1，1]，不等式a²-5a-3≥3恒成立，
解得：a≥6或a≤-1；
（2）由（1）：p：a≥6或a≤-1，
由q可得（x-1）²≤m²（m＞0），
∴1-m≤x≤1+m，
∴￢q：x＞m+1或x＜1-m，
若p是￢q的必要不充分条件，
则1-m＜-1且m+1＞6，
解得：m＞5．

点评 本题考查了充分必要条件，考查不等式的解法以及集合的包含关系，是一道中档题．