题目内容

如图，椭圆与过点 A（2，0）、B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率。
（1）求椭圆的方程；
（2）设F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF2的中点，求证：∠ATM=∠AF1T。
解：（1）过A、B的直线方程为
因为由题意得有唯一解
即有唯一解
所以（ab≠0）
故a2+4b2-4=0
又因为，即
所以a2=4b2
从而得a2=2，
故所求的椭圆方程为。
（2）由（1）得
所以
从而
由解得x1=x2=1
所以
因为tan∠AF1T
又得

因此∠ATM=∠AF1T。
练习册系列答案
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精英家教网设b＞0，椭圆方程为
x2
2b2
+
y2
b2
=1，抛物线方程为x2=8（y-b）．如图所示，过点F（0，b+2）作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F1．
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．
精英家教网如图，椭圆
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF1的中点，求证：∠ATM=∠AF1T．
（2012•安徽模拟）如图，椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上的点M与椭圆右焦点F1的连线MF1与x轴垂直，且OM（O是坐标原点）与椭圆长轴和短轴端点的连线AB平行．
（1）求椭圆的离心率；
（2）过F1且与AB垂直的直线交椭圆于P，Q，若△PF2Q的面积是20
3
，求此时椭圆的标准方程．
如图，椭圆与过A（2，0）、B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=，
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，求证|AT|2=|AF1|·|AF2|。

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