Question

（1）已知直线l在x、y轴上的截距的绝对值相等，且到点（1，2）的距离为

2

，求直线l的方程；
（2）求经过直线l₁：x+y-5=0，l₂：x-y-3=0的交点且平行于直线2x+y-3=0的直线方程．

Answer 1

考点：直线的一般式方程与直线的平行关系,点到直线的距离公式

专题：直线与圆

分析：（1）当直线l经过原点时，设方程为y=kx，由于点（1，2）到直线距离为

2

，可得

|k-2|

k2+1

=

2

，解得k即可；
当直线l不经过原点时，设直线l的方程

x

a

+

y

b

=1，即bx+ay-ab=0，可得

|a|=|b| |b+2a-ab| a2+b2 = 2

，解得即可；
（2）联立

x+y-5=0 x-y-3=0

，解得交点（4，1）．设平行于直线2x+y-3=0的直线方程为2x+y+m=0，把交点代入上述直线方程即可得出．

解答： 解：（1）当直线l经过原点时，设方程为y=kx，
∵点（1，2）到直线距离为

2

，
∴

|k-2|

k2+1

=

2

，解得k=-2±

6

．
此时直线l的方程为y=(-2±

6

)x．
当直线l不经过原点时，设直线l的方程

x

a

+

y

b

=1，即bx+ay-ab=0，
则

|a|=|b| |b+2a-ab| a2+b2 = 2

，解得

a=1 b=1

，

a=1 b=-1

，

a=-3 b=3

，

a=5 b=5

．
∴直线l的方程为y=x+3，y=x-1，y=-x+1，y=-x+5．
综上可得：直线l的方程为y=x+3，y=x-1，y=-x+1，y=-x+5，y=(-2±

6

)x．
（2）联立

x+y-5=0 x-y-3=0

，解得

x=4 y=1

，交点（4，1）．
设平行于直线2x+y-3=0的直线方程为2x+y+m=0，
把点（4，1）代入上述直线方程可得：8+1+m=0，解得m=-9．
∴要求的直线方程为：2x+y-9=0．

点评：本题考查了直线的截距式、点到直线的距离公式、平行线之间的斜率关系、直线的交点，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．