Question

现要围成一面靠墙，三面用钢筋网的长方形的笼子．
（1）现有12m长的钢网，当笼子的边长分别为多少时可使笼子的面积最大？
（2）若使笼子的面积为32cm²，则笼子的边长分别为多少时可使所用钢网总长最小？

Answer 1

分析：（1）如图所示，设矩形的长为xm，则宽y=

12-x

2

=6-

x

2

（m）．于是笼子的面积S=xy=x(6-

x

2

)=-

1

2

(x-6)2+18（0＜x＜12），利用二次函数的单调性即可得出最大值；
（2）使笼子的面积为32cm²，设笼子的长为xcm，则宽为

32

x

cm．（x＞0）．所用钢网总长l=x+

2×32

x

cm，利用基本不等式即可得出最小值．

解答：解：（1）如图所示，设矩形的长为xm，则宽y=

12-x

2

=6-

x

2

（m）．
∴笼子的面积S=xy=x(6-

x

2

)=-

1

2

(x-6)2+18（0＜x＜12），
当长x=6时，可使笼子的面积最大为18m²，此时笼子的宽y=3m．
（2）使笼子的面积为32cm²，设笼子的长为xcm，则宽为

32

x

cm．（x＞0）
所用钢网总长l=x+2×

32

x

≥2

x• 64 x

=16，当且仅当x=8，取等号．
∴当笼子的长为8cm、宽为4cm时可使所用钢网总长l最小为16cm．
答：（1）当笼子的长为6m，宽为3m时可使笼子的面积最大为18m²；
（2）当笼子的长为8cm、宽为4cm时可使所用钢网总长l最小为16cm．

点评：本题考查了二次函数的单调性、基本不等式的性质及其应用，属于中档题．