Question

8．已知函数$f（x）=\frac{1+2lnx}{x^2}$．
（1）求函数f（x）的单调区间．
（2）令g（x）=ax²-2lnx-1，若函数y=g（x）有两个不同的零点，求实数a的取值范围．
（3）若存在x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁≠x₂，使$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{ln{x_1}-ln{x_2}}}≤k$成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而确定a的范围即可；
（3）妨设x₁＞x₂＞0，则lnx₁-lnx₂＞0，不等式即f（x₁）-klnx₁≤f（x₂）-klnx₂，令h（x）=f（x）-klnx（x＞0），根据函数的单调性求出k的范围即可．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{-4lnx}{x^3}$．令f'（x）=0得x=1，
x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
综上，f（x）单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）．    …（3分）
（2）$g'（x）=2ax-\frac{2}{x}=\frac{{2（{a{x^2}-1}）}}{x}$…（4分）
①当a≤0时，g'（x）＜0，单调递减，故不可能有两个根，舍去．    …（5分）
②当a＞0时，$x∈（{0，\sqrt{\frac{1}{a}}}）$时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
$x∈（{\sqrt{\frac{1}{a}}，+∞}）$时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．                  …（6分）
所以$g（{\sqrt{\frac{1}{a}}}）＜0$得0＜a＜1．
综上，0＜a＜1…（7分）
（3）不妨设x₁＞x₂＞0，则lnx₁-lnx₂＞0．
不等式即f（x₁）-f（x₂）≤k（lnx₁-lnx₂），亦即f（x₁）-klnx₁≤f（x₂）-klnx₂．
令h（x）=f（x）-klnx（x＞0），则h（x）在（0，+∞）不单调递增．              …（8分）
$h'（x）=\frac{-4lnx}{x^3}-\frac{k}{x}$．
若h（x）单调递增，则h′（x）≥0即k≤-$\frac{4lnx}{{x}^{2}}$恒成立．                      …（9分）
令$φ（x）=-\frac{4lnx}{x^2}$，$φ'（x）=-\frac{4-8lnx}{x^3}$．
令φ'（x）=0得x=$\sqrt{e}$，φ（x）在$（0，\sqrt{e}）$递增，$（\sqrt{e}，+∞）$递减．
∴$φ{（x）_{min}}=φ（\sqrt{e}）=-\frac{2}{e}$，则$k≤-\frac{2}{e}$．                                  …（11分）
故h（x）不单调递增，则$k∈（-\frac{2}{e}，+∞）$．                                 …（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．