Question

如图，A点在x轴上方，△ABC外接圆半径R=

14 3

3

，∠ABC=1200，BC=10，弦BC在x轴上且y轴垂直平分BC边，
（1）求△ABC外接圆的标准方程；
（2）求过点A且以B，C为焦点的椭圆方程．

Answer 1

分析：（1）由正弦定理可求AC=2Rsin120°，然后由余弦定理可得，AC²=AB²+BC²-2AB•BCcos120°可求AB，结合三角函数的定义可求A的坐标，从而可求AC的垂直平分线的方程，结合已知可求△ABC外接圆的圆心和半径，即可求解
（2）由题意可求2a=AB+AC，2c然后结合b²=a²-c²可求b，即可求解椭圆方程

解答：（1）解：∵△ABC外接圆半径R=

14 3

3

，∠ABC=1200，BC=10，
由正弦定理可得，AC=2Rsin120°=14
由余弦定理可得，AC²=AB²+BC²-2AB•BCcos120°
即196=AB2+100-20AB×(-

1

2

)
解可得AB=6
由三角函数的定义可得，x=-5-6×cos60°=-8，y=6sin60°=3

3

∵C（5，0）
∴KAC=

3 3

5-(-8)

=

3 3

13

∴AC的垂直平分线的方程为y-

3 3

2

=

13

3 3

(x+

3

2

)
∵弦BC在x轴上且y轴垂直平分BC边
∴△ABC外接圆的圆心为AC与y轴的交点
在直线AC的方程中，令x=0可得y=

11 3

3

即圆心（0，

11 3

3

），半径R=

(0+8)2+( 11 3 3 -3 3 )2

=

196 3

∴△ABC外接圆的标准方程x2+(y-

11 3

3

)2=

196

3

（2）由题意可得，AB+AC=6+14=20，2c=10
∴a=10，c=5
∴b²=a²-c²=75
∴过点A且以B，C为焦点的椭圆的方程为

x2

100

+

y2

75

=1

点评：本题主要考查了三角形的 正弦定理及余弦定理在求解三角形中的应用，直线位置关系在求解直线方程中的应用及利用椭圆的定义求解椭圆方程，属于知识的综合应用