Question

（12分）已知椭圆C1：+=1（0＜a＜，0＜b＜2）与椭圆C2：+=1有相同的焦点．直线L：y=k（x+1）与两个椭圆的四个交点，自上而下顺次记为A、B、C、D．

（Ⅰ）求线段BC的长（用k和a表示）；

（Ⅱ）是否存在这样的直线L，使线段AB、BC、CD的长按此顺序构成一个等差数列．请说明详细的理由．

 

 

Answer 1

（Ⅰ）BC=．

（Ⅱ）见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）联立，得（k2a2+b2）x2+2k2a2x2+k2a2﹣a2b2=0，由此能求出线段BC的长．

（Ⅱ）由（I）知，AD=，线段AB、BC、CD构成一个等差数列，得2BC=AB+CD，故3BC=AD，由此能求出存在这样的直线L，使线段AB、BC、CD的长按此顺序构成一个等差数列．

【解析】
（Ⅰ）联立，

得（k2a2+b2）x2+2k2a2x2+k2a2﹣a2b2=0

所以BC==．

（Ⅱ）由（I）知，AD=，

线段AB、BC、CD构成一个等差数列，

可得2BC=AB+CD，故3BC=AD，

3=，

=≥0，

即：≥0．

由于a＞1，故．

所以，当时，存在这样的直线L，使线段AB、BC、CD的长按此顺序构成一个等差数列．