Question

8．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，且△PAD是边长为2的等边三角形，$PC=\sqrt{13}$，点M是PC的中点．
（I）求证：PA∥平面MBD；
（II）求四面体P-BDM的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AC交BD于O，则O为AC的中点，连接MO，由三角形中位线定理可得PA∥MO，再由线面平行的判定可得PA∥平面MBD；
（Ⅱ）取AD中点H，连接PH，则PH⊥AD，由面面垂直的性质可得PH⊥平面ABCD．然后利用等积法求得四面体P-BDM的体积．

解答 （Ⅰ）证明：连接AC交BD于O，则O为AC的中点，连接MO，
∵M为PC的中点，O为AC的中点，
∴PA∥MO，
又MO?平面MBD，PA?平面MBD，
∴PA∥平面MBD；
（Ⅱ）解：取AD中点H，连接PH，则PH⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，AD为交线，
∴PH⊥平面ABCD．
在直角三角形PHC中，HC=$\sqrt{P{C}^{2}-P{H}^{2}}=\sqrt{10}$．
∴DC=$\sqrt{H{C}^{2}-H{D}^{2}}=3$．
又∵V_P-BDM=V_P-BDC-V_M-BDC=$\frac{1}{2}{V}_{P-BDC}$，
∴${V}_{P-BDM}=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}|PH|×{S}_{△BDC}=\frac{\sqrt{3}}{6}×\frac{1}{2}×2×3=\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．