Question

10．用待定系数法求椭圆的标准方程：
（1）已知椭圆的两个焦点坐标分别是（-2，0），（2，0），并且经过点（$\frac{5}{2}$，-$\frac{3}{2}$），求它的标准方程；
（2）若椭圆经过两点（2，0）和（0，1），求椭圆的标准方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{25}{4{a}^{2}}+\frac{9}{4{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得a²，b²，即可得出．
（2）∵椭圆经过两点（2，0）和（0，1），可设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），即可得出．

解答 解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{25}{4{a}^{2}}+\frac{9}{4{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得a²=10，b²=6．
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{10}+\frac{{y}^{2}}{6}$=1．
（2）∵椭圆经过两点（2，0）和（0，1），
∴可设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
∴a=2，b=1．
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．

点评 本题考查了利用待定系数法求椭圆的标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．