题目内容
已知x，y，z成等差数列，求证：x2（y+z），y2（x+z），z2（x+y）也成等差数列．
考点：等差关系的确定
专题：等差数列与等比数列
分析：由x，y，z成等差数列得到x+z=2y，然后证明y2（x+z）是x2（y+z），z2（x+y）的等差中项得答案．
解答：
证明：∵x，y，z成等差数列，
∴x+z=2y，
而x2（y+z）+z2（x+y）
=x2y+x2z+xz2+yz2
=y（x2+z2）+xz（x+z）
=y（x2+z2）+xz•2y
=y（x2+z2+2xz）
=y（x+z）2
=y•（2y）2
=2y22y
=2•y2（x+z）．
∴x2（y+z），y2（x+z），z2（x+y）也成等差数列．
∴x+z=2y，
而x2（y+z）+z2（x+y）
=x2y+x2z+xz2+yz2
=y（x2+z2）+xz（x+z）
=y（x2+z2）+xz•2y
=y（x2+z2+2xz）
=y（x+z）2
=y•（2y）2
=2y22y
=2•y2（x+z）．
∴x2（y+z），y2（x+z），z2（x+y）也成等差数列．
点评：本题考查了等差关系的确定，考查由等差中项的概念判断数列为等差数列，是中档题．
练习册系列答案
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