Question

20．已知某空间几何体的三视图如图所示，若三个正方形的边长均为2，则该几何体的表面积为（　　）

• A． $\frac{8}{3}$
• B． $\frac{16}{3}$
• C． 8$\sqrt{3}$
• D． 12+4$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由题意和三视图知：由两种情况，
（1）该几何体是棱长为2正方体截去一个三棱锥所得的组合体，由正方体的性质判断出各个面的形状，由直观图和三角形的面积公式求出该几何体的表面积；
（2）该几何体是边长为2的正方体被两个平行平面所截后的几何体，由正方体的性质判断出各个面的形状，由直观图和三角形的面积公式求出该几何体的表面积．

解答 解：由题意和三视图知：由两种情况，
（1）该几何体是棱长为2正方体截去一个三棱锥所得的组合体，
截面△ABC是等边三角形，边长是2$\sqrt{2}$，
∴该几何体的表面积S=$3×2×2+3×\frac{1}{2}×2×2+\frac{\sqrt{3}}{4}×{（2\sqrt{2}）}^{2}$
=18+2$\sqrt{3}$
由三个视图均为边长为2的正方形，故正方体的棱长为2
（2）几何体是边长为2的正方体被两个平行平面所截后的几何体，
根据三视图画出直观图：
截面△ABC和△DEF是全等的等边三角形，且边长是2$\sqrt{2}$，
由图得，该几何体表面有：
6个全等的等腰直角三角形、直角边是2，截面△ABC和△DEF构成，
∴该几何体的表面积S=$6×\frac{1}{2}×2×2$+2×$\frac{\sqrt{3}}{4}×{（2\sqrt{2}）}^{2}$=12+4$\sqrt{3}$
综上可得，该几何体的表面积为18+2$\sqrt{3}$或12$+4\sqrt{3}$，
故选：D．

点评 本题考查由三视图求几何体的表面积，在三视图与直观图转化过程中，以一个正方体为载体是很好的方式，使得作图更直观，考查空间想象能力．