Question

9．已知数列{a_n}满足a₁=2，n（a_n+1-n-1）=（n+1）（a_n+n）（n∈N^*）．
（1）求证：数列{$\frac{a_n}{n}$}是等差数列，并求其通项公式；
（2）设b_n=$\sqrt{2{a_n}}$-15，求数列{|b_n|}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）n（a_n+1-n-1）=（n+1）（a_n+n）（n∈N^*），可得na_n+1-（n+1）a_n=2n（n+1），变形$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{a}_{n}}{n}$=2．利用等差数列的定义及其通项公式即可证明．
（2）b_n=$\sqrt{2{a_n}}$-15=2n-15，可得数列{b_n}的前n项和S_n=n²-14n．令b_n≤0，解得n≤7．∴n≤7时，数列{|b_n|}的前n项和T_n=-b₁-b₂-…-b_n=-S_n．n≥8时，数列{|b_n|}的前n项和T_n=-b₁-b₂-…-b₇+b₈+…+b_n=-2S₇+S_n．

解答 （1）证明：∵n（a_n+1-n-1）=（n+1）（a_n+n）（n∈N^*），
∴na_n+1-（n+1）a_n=2n（n+1），∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{a}_{n}}{n}$=2．
∴数列$\{\frac{{a}_{n}}{n}\}$是等差数列，公差为2，首项为2．
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=2+2（n-1）=2n，
∴a_n=2n²．
（2）解：b_n=$\sqrt{2{a_n}}$-15=2n-15，
则数列{b_n}的前n项和S_n=$\frac{n（-13+2n-15）}{2}$=n²-14n．
令b_n=2n-15≤0，解得n≤7．
∴n≤7时，数列{|b_n|}的前n项和T_n=-b₁-b₂-…-b_n=-S_n=-n²+14n．
n≥8时，数列{|b_n|}的前n项和T_n=-b₁-b₂-…-b₇+b₈+…+b_n=-2S₇+S_n=-2×（7²-14×7）+n²-14n=n²-14n+98．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{14n-{n}^{2}，n≤7}\\{{n}^{2}-14n=98，n≥8}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式与求和公式、绝对值数列求和问题，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．