Question

16．已知圆C的方程为x²+y²=4．
（1）求过点P （-1，2）与圆相切的直线I的方程；
（2）直线m过点P （-1，2），与圆C交于AB两点，且AB=$2\sqrt{3}$，求直线m的方程．

Answer 1

分析 （1）设出切线方程，利用点到直线的距离等于半径，求出k，即可求出过点P（-1，2）且与圆C相切的直线l的方程；
（2）通过弦长|AB|=2$\sqrt{3}$，半径与弦心距满足勾股定理，求出直线的斜率，然后求直线l的方程．

解答 解：（1）显然直线l的斜率存在，设切线方程为y-2=k（x+1），…（1分）
则$\frac{|k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2   …（2分）       
 解得，k₁=0，k₂=$\frac{4}{3}$，…（3分）
故所求的切线方程为y=2或4x-3y-10=0．…（5分）
（2）当直线l垂直于x轴时，此时直线方程为x=-1，
l与圆的两个交点坐标为（-1，$\sqrt{3}$）和（-1，-$\sqrt{3}$），
这两点的距离为2$\sqrt{3}$，满足题意；…（7分）
当直线l不垂直于x轴时，设其方程为y-2=k（x+1），…（8分）
即kx-y+k+2=0，
设圆心到此直线的距离为d，则2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{4-{d}^{2}}$，∴d=1，…（9分）
∴1=$\frac{|k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，∴k=-$\frac{3}{4}$，…（10分）
此时直线方程为3x+4y+5=0，…（11分）
综上所述，所求直线方程为3x-+y+5=0或x=-1．…（12分）

点评 本题考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程的求法，考查计算能力，注意直线的斜率不存在的情况．