Question

11．已知△ABC中，∠BAC，∠ABC，∠BCA所对的边分别为a，b，c，AD⊥BC且AD交BC于点D，AD=a，若$\frac{si{n}^{2}∠ABC+si{n}^{2}∠BCA+si{n}^{2}∠BAC}{sin∠ABC•sin∠BCA}$≤m恒成立，则实数m的取值范围为[2$\sqrt{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 根据题意，利用正弦定理、三角形面积公式以及余弦定理，结合三角函数的有界性，即可求出m的取值范围．

解答 解：如图所示，

由正弦定理知，
$\frac{si{n}^{2}∠ABC+si{n}^{2}∠BCA+si{n}^{2}∠BAC}{sin∠ABC•sin∠BCA}$=$\frac{{b}^{2}{+c}^{2}{+a}^{2}}{bc}$，
由三角形面积公式可得$\frac{1}{2}$bcsin∠BAC=$\frac{1}{2}$a•AD，
又AD=a，
所以bcsin∠BAC=a²，
由余弦定理得b²+c²=a²+2bccos∠BAC，
故$\frac{{b}^{2}{+c}^{2}{+a}^{2}}{bc}$=2sin∠BAC+2cos∠BAC
=2$\sqrt{2}$sin（∠BAC+$\frac{π}{4}$）≤2$\sqrt{2}$，
所以m≥2$\sqrt{2}$，
即实数m的取值范围是[2$\sqrt{2}$，+∞）．
故答案为：[2$\sqrt{2}$，+∞）．

点评 本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的应用问题，也考查了综合运用知识的能力．