Question

17．已知函数f（x）=kx²-2x+4k．
（1）若函数f（x）在R上恒小于零，求实数k的取值范围；
（2）若函数f（x）在区间[2，4]上单调递减，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得k＜0，且判别式小于0，解不等式即可得到所求范围；
（2）由题意分类讨论分k=0，k＞0，k＜0，求出对称轴，结合区间，即可得到不等式，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（1）由函数f（x）在R上恒小于零得：$\left\{{\begin{array}{l}{k＜0}\\{△＜0}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{k＜0}\\{4-16{k^2}＜0}\end{array}}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{k＜0}\\{k＞\frac{1}{2}或k＜-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得$k＜-\frac{1}{2}$．
（2）因为函数f（x）在区间[2，4]上单调递减，
①若k＞0，则只需函数f（x）的对称轴$\frac{1}{k}≥4$，解得$0＜k≤\frac{1}{4}$；
②若k=0，f（x）=-2x在区间[2，4]上单调递减；
③若k＜0，则只需函数f（x）的对称轴$\frac{1}{k}≤2$，显然成立．
综上可知实数k的取值范围是：$k≤\frac{1}{4}$．

点评 本题考查二次函数的图象和性质，考查分类讨论思想方法，注意运用单调性，区间和对称轴的关系，考查运算能力，属于中档题．