Question

设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c（a＞b），且acosB-bcosA=3c．
（1）求tanAcotB的值；
（2）求tan（A+B）的最小值，并求出最小值时角B的大小．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理化简已知的等式，再由sinC=sin（A+B），利用两角和与差的正弦函数公式化简后，再等式两边同时除以cosAsinB，根据同角三角函数间的基本关系弦化切后即可求出tanAcotB的值；
（2）利用两角和与差的正切函数公式化简tan（A+B），把（1）得到的tanAcotB=-2变形，得到tanA=-2tanB，代入化简后的tan（A+B）式子中，得到关于tanB的关系式，由a大于b得到A大于B，进而得到A为钝角，B为锐角，可得tanB大于0，根据基本不等式即可求出tan（A+B）取得最小值时角B的度数．

解答：解：（1）利用正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

化简已知的等式得：
sinAcosB-sinBcosA=3sinC，又sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B），
∴sinAcosB-sinBcosA=3sin（A+B）=3sinAcosB+3cosAsinB，
∴-2sinAcosB=4cosAsinB，
∴tanAcotB=-2；（6分）
（2）由（1）知tanA=-2tanB，
则tan(A+B)=

tanA+tanB

1-tanAtanB

=

-tanB

1+2tan2B

，
又a＞b，故A为钝角、B为锐角，∴tanB＞0，
∴tan(A+B)≥

-tanB

2 2 tanB

=-

2

4

，
当且仅当tanB=

2

2

，即B=artan

2

2

时，取“=”（12分）

点评：此题考查了正弦定理，诱导公式，两角和与差的正弦、正切函数公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．