Question

6．经过点P（-2，1）且斜率为k的直线l与抛物线y²=4x只有一个公共点，则k的取值范围为（　　）

• A． {0，-1}
• B． {0，$\frac{1}{2}}\right\$}
• C． {-1，$\frac{1}{2}}\right\$}
• D． {-1，0，$\frac{1}{2}}\right\$}

Answer 1

分析 设直线方程为：y=k（x+2）+1，代入抛物线方程得k²x²+（4k²+2k-4）x+4k²+4k+1=0（*），直线与抛物线只有一个公共点等价于（*）只有一个根，由此能求出结果．

解答 解：经过点P（-2，1）且斜率为k的直线l为：y=k（x+2）+1，
代入抛物线方程y²=4x整理可得k²x²+（4k²+2k-4）x+4k²+4k+1=0（*），
直线与抛物线只有一个公共点等价于（*）只有一个根，
①k=0时，y=1符合题意；
②k≠0时，△=（4k²+2k-4）²-4k²（4k²+4k+1）=0，整理，得2k²+k-1=0，
解得k=$\frac{1}{2}$或k=-1．
综上可得，k=$\frac{1}{2}$或k=-1或k=0时，直线l与抛物线只有一个公共点，
故k∈{-1，0，$\frac{1}{2}}\right\$}，
故选：D．

点评 本题主要考查直线和抛物线位置关系的应用，要对k进行分类讨论，注意直线与抛物线的位置关系的合理运用．