Question

如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.

现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA＝，cosC＝.

(1)求索道AB的长；

(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

Answer 1

　(1)在△ABC中，因为cosA＝，cosC＝，

所以sinA＝，sinC＝.

从而sinB＝sin[π－(A＋C)]

＝sin(A＋C)

＝sinAcosC＋cosAsinC

＝×＋×＝.

由正弦定理＝，得AB＝×sinC＝×＝1040(m)．

所以索道AB的长为1040m.

(2)假设乙出发tmin后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130tm，

所以由余弦定理得d²＝(100＋50t)²＋(130t)²－2×130t×(100＋50t)×＝200(37t²－70t＋50)，

因0≤t≤，即0≤t≤8，故当t＝(min)时，甲、乙两游客距离最短．