Question

下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（　　）

• A．y=-

  1

  x

• B．y=-log

  1

  3

  x
• C．y=2^x
• D．y=x³+x

Answer 1

分析：根据题意，依次分析选项，对于A，由反比例函数的性质可得y=-

1

x

在其定义域上不是增函数，不合题意；对于B，由对数函数的性质，可得y=-log

1

3

x不是奇函数，不合题意，对于C，由指数函数的性质，y=2^x不是奇函数，不合题意，对于D，f（-x）=-x-x³=-f（x），由奇函数的定义，可得f（x）为奇函数，结合函数的单调性的性质可知y=x+x³是增函数，符合题意；即可得答案．

解答：解：根据题意，依次分析选项：
对于A，由反比例函数的性质可得，y=-

1

x

是奇函数，在其定义域上不是增函数，不合题意；
对于B，y=-log

1

3

x的定义域为{x|x＞0}，不是奇函数，不合题意，
对于C，由指数函数的性质，y=2^x是增函数，但不是奇函数，不合题意，
对于D，由f（-x）=-x-x³=-f（x），则f（x）为奇函数．又由y=x和y=x³都是增函数，由函数的单调性知y=x+x³是增函数，符合题意；
故选D．

点评：本题主要考查常见函数的奇偶性和单调性，以及判断函数奇偶性的方法，对于基本函数与常见的函数，应牢记其奇偶性与单调性．