Question

12．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一个焦点为$（-\sqrt{3}，0）$，且实轴长为2．
（1）求双曲线C的方程；  
（2）求直线$y=x-\sqrt{3}$被双曲线C截得的弦长．

Answer 1

分析 （1）通过$c=\sqrt{3}$、2a=2，利用a、b、c直接的关系可知a²=1、b²=2，进而可得结论；
（2）通过联立直线与双曲线方程，利用韦达定理及两点间距离公式计算即得结论．

解答 解：（1）∵$c=\sqrt{3}$，2a=2，
∴a=1，c²=3，a²=1，
∴b²=a²-c²=2，
故双曲线方程为${x^2}-\frac{y^2}{2}=1$；
（2）设直线与双曲线的交点为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
联立方程$\left\{\begin{array}{l}y=x-\sqrt{3}\\{x^2}-\frac{y^2}{2}=1\end{array}\right.$，得${x^2}+2\sqrt{3}x-5=0$，
由韦达定理得$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=-2\sqrt{3}\\{x_1}{x_2}=-5\end{array}\right.$，
故$|AB|=\sqrt{1+1}•\sqrt{{{（-2\sqrt{3}）}^2}-4×（-5）}=8$．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，涉及韦达定理、两点间距离公式等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．